Wenn sie keinen Behandlungsvertrag mit privater Abrechnung und keine Mehrkostenvereinbarung unterschrieben haben, hat der Arzt ganz schlechte Karten.
Ohne eine solche Vereinbarung im nachhinein Mehrkosten einzufordern grenzt schon an einen Betrugsversuch.

Ich würde gegen die Rechnung mit deutlichen Worten Widerspruch einlegen - wenn er dann immer noch etwas will, ist ein Gang zur Verbraucherberatung oder zum Anwalt angebracht.