Erst einmal kann nicht Ihre Krankenkasse (=gesetzlich), sondern nur Ihre Krankenversicherung (=privat) geantwortet haben, und zweitens hat diese kein Recht, dies zu entscheiden, sondern nur eine (gesetzliche) Krankenkasse.

Diese Aussage widerspricht dem Entscheidungskatalog der GKV. Wenn dies so vom Arbeitgeber akzeptiert wird und von einer GKV bestätigt wird, würde ich Sie um kurze Rückmeldung bitten - denn dann hätte sich eine neue Rechtsauslegungspraxis durchgesetzt.