Das war innerhalb einer Krankenkasse gemeint.

Zwischen verschieden Kassen werden zumindest Daten über die Vorversicherung ausgetauscht, denn ohne Kündigungsbestätigung der vorhergehenden Kasse darf die neue GKV Mitglieder nicht aufnehmen. Zeitliche Lücken fallen deshalb auf.

Die PKV darf in der GKV Pflichtversicherte grundsätzlich nicht versichern (Ausnahme: Zusatzversicherungen).
Ein Sonderfall ist die Versicherungspflicht nach § 5 Abs. 1 Nr.13, also für Personen ohne anderweitigen Versicherungsschutz. Denn mit Abschluß eines PKV-Vertrages erlicht diese Versicherungspflicht in der GKV sofort, da dann eine anderweitige Absicherung besteht.
Allerdings: Ohne unmittelbare Vorversicherung verlangen PKVs vor Aufnahme in aller Regel eine ärztliche Untersuchung zur Risikoprüfung.
Und es ist wahrscheinlich, dass die GKV mit Nachforderungen für den Zeitraum der "Nichtversicherung" kommt, falls sie davon (auf welchem Wege auch immer) erfährt.

Für ehemalige Obdachlosen richtet sich die Mitgliedschaft nach dem beruflichen Status (also z.B. "Hartz 4"-Empfänger oder Arbeitnehmer = GKV-pflichtversichert, falls z.B. selbständig, dann PKV- oder freiwillig GKV-versichert.